Bài viết được đăng tại ThetaLog: https://thetalog.com/machine-learning/kalman-filter/

Kalman Filter là 1 mô hình Linear-Gaussian State Space Model trực thuộc team thuật toán dự đân oán chuỗi thời hạn. Thuật tân oán được rước tên theo Rudolf E. Kálmán, một bên khoa học ảnh hưởng quan trọng trong quy trình trở nên tân tiến thuật toán thù.

Bạn đang xem: Bộ lọc kalman filter là gì, chi tiết về bộ lọc kalman mới nhất 2021

Lập luận Theo phong cách bên trên lại có một ưu gắng nữa, trong tương đối nhiều bài bác tân oán kỹ thuật chuyên môn, đôi lúc chúng ta cần biết xác suất xảy ra vào một vùng gì đó, chẳng hạn:

Đôi cơ hội bọn họ chỉ quan tâm đến một vùng như thế nào đó của một đại lượng, chẳng hạn từ bỏ 95 cho 110 độ C thì CPU máy vi tính buộc phải tắt vì chưng ánh sáng thừa ngưỡng an ninh, Xác Suất nhằm nhiệt độ rơi vào hoàn cảnh vùng này là bao nhiêu nhỉ? Tương từ bỏ với cùng một tập đại lượng, bọn họ quyên tâm đến một vùng giá trị làm sao kia thật sự đặc trưng trong bài bác toán thù đã xét.Với hàm mật độ Xác Suất thường xuyên p(x_t) chúng ta có thể dể dàng tính Tỷ Lệ xẩy ra trong vùng E bởi tích phân int_E p(x_t) dx_t, thiệt thuận tiện đúng không nào!

Giả định rằng tại thời khắc t chiến thuyền có:

hatx_t = left< eginarray*20c -0.2 \ 0.1 endarray ight>

Sigma_t = left< eginarray*20c 0.4 & 0.35 \ 0.35 và 0.6 endarray ight>

Trong trường hòa hợp này, bọn họ giả định rằng:y_t = G_t x_t + v_t với v_t là 1 trong những vector bỗng nhiên nhiễu có phân bổ chuẩn chỉnh nhiều chiều v_t sim mathcalN(0,R_t), bọn họ Gọi v_t là nhiễu quy mô quan lại gần kề (observation noise).

Xem thêm: Đánh Bại Thủ Lĩnh Làng Tre Dochun Sẽ Nhận Được Huy Hiệu Gì? Thể Loại:Vệ Hồn Rùa Thần

Giả định trên rất có thể gọi y_t được coi như như thể "nhiễu quan tiền tiếp giáp được trường đoản cú x_t", y_t là tác dụng của tổng hợp tuyến tính từng thành phần x_t dựa vào ma trận G_t với bị tác động cộng thêm một lượng nhiễu môi trường với vector ngẫu nhiên v_t. Người ta call bí quyết bên trên là quy mô quan gần cạnh, nó mô tả quá trình x_t thay đổi thành y_t đôi khi bị tác động nhiễu từ bỏ môi trường thiên nhiên.

Giờ đây, chúng ta tất cả lòng tin của chúng ta về trạng thái con thuyền qua hàm tỷ lệ phần trăm p(x_t) và một sự khiếu nại đã xẩy ra là đọc tin nhận được trường đoản cú bộ cảm biến - tinh thần y_t, liệu rằng bạn cũng có thể phối kết hợp cả nhị công bố đang xuất hiện thành một ban bố mới tất cả ý nghĩa sâu sắc hơn, giúp bọn họ gọi hơn về trạng thái bây chừ hệ thống hay không?

Biết y_t để giúp bọn họ update tinh thần về x_t như thế nào? Nếu nhiều người đang tra cứu một giải pháp nlỗi bên trên, có lẽ rằng định lý Bayes là một trong câu trả lời họ vẫn tìm:

p(x_t | y_t) = fracp(y_t p(y_t)

p(x_t) hàm tỷ lệ tỷ lệ tiên nghiệm, tinh thần của bọn họ ko phụ thuộc vào vào sự khiếu nại y_t xảy ra.p(y_t | x_t) hàm mật độ Tỷ Lệ khả dĩ, mật độ xác suất gồm ĐK lúc biết trạng thái x_t xảy ra, bởi vì bọn họ biết rằng y_t là 1 trong vector thốt nhiên làm thế nào để cho y_t = G_t x_t + v_t , lúc biết x_t xẩy ra tức thị G_t x_t là một trong những vector hằng, vector tình cờ y_t được biểu diễn bằng một vector hằng thêm vào đó một vector tự nhiên có phân bố chuẩn chỉnh các chiều v_t sim mathcalN(0,R_t), hay có thể nói rằng y_t | x_t hiện thời là một phân bố chuẩn những chiều. Phân ba y_t | x_t sim mathcalN(G_t x_t ,R_t).p(y_t) hàm mật độ Xác Suất biên không nhờ vào vào x_t đóng vai trò nlỗi một hằng số chuẩn chỉnh hóa.

Phân bố x_t | y_t được tìm kiếm như vậy nào? Trên căn nguyên Linear Gaussian Systems (LGS - mô hình phân bổ chuẩn chỉnh đường tính), lời giải của định lý Bayes cho bài tân oán nàgiống như sau:

Định lý Bayes mang đến Linear Gaussian Systems

Giả định có nhị vector thốt nhiên m in mathbbR^D_m cùng n in mathbbR^D_n với m là vectơ ẩn, n là vector nhiễu quan lại gần kề được trường đoản cú m với:

m sim mathcalN(mu_m , Sigma_m ) n | m sim mathcalN(C m + d, Sigma_n ) Phân bố hậu nghiệm m | n khi biết n là m | n slặng mathcalN(mu_m , Sigma_ n) với: Sigma_ n = left( Sigma_m^-1 + C^intercal Sigma_n^-1 C ight)^-1 mu_ n = Sigma_m left< C^intercalSigma_n^-1(n-d) + Sigma_m^-1 mu_m ight> TL;DR: phần chứng minh định lý sẽ không được bàn ở đây, trong một cơ hội như thế nào đó nếu như rất có thể bản thân đã viết về các quy mô phân bổ chuẩn những chiều, bạn đọc quan tâm hoàn toàn có thể đọc thêm tư liệu đính kèm. (Kevin Phường. Murphy phần 6 tư liệu <7>, Chris Bracegirdle tư liệu <6> phần hệ luận Corollary 5) |

Tuy nhiên giả dụ tính tân oán thẳng ma trận hiệp phương không đúng Sigma_ y_t nhỏng trên thì có lẽ chúng ta vừa vứt sang một vài ba “điều thú vị” vào đại số con đường tính khiến cho giải pháp của họ độc đáo hơn!

Đồng độc nhất thức ma trận Woodbury (tuyệt có cách gọi khác matrix inversion lemma)

Cho 4 ma trận A (n imes n), U (n imes k), C (k imes k), V (k imes n)Đồng độc nhất thức Woodbury nói rằng:

left( A + UCV ight)^-1 = A^-1 - A^-1U(C^-1 + VA^-1U)^-1VA^-1

Trước lúc phân tích và lý giải chân thành và ý nghĩa của đồng bộ thức ma trận Woodbury vào Kalman Filter, bọn họ hãy cùng nhau viết lại giải mã phân bố hậu nghiệm x_t | y_t vừa kiếm được, chúng ta Hotline đấy là “phân bố lọc” (Filtering Distribution):

x^mathttF_t sim x_t | y_t syên ổn mathcalN(hatx^mathttF, Sigma^mathttF)

Với tđam mê số mong muốn cùng ma trận hiệp phương thơm không đúng của phân bố chuẩn chỉnh nhiều chiều:

colorWildStrawberrySigma^mathttF_t = left( Sigma_t^-1 + G_t^intercal R_t^-1 G_t ight)^-1 = Sigma_t - Sigma_t G_t^intercal left( R + G_t Sigma_t G_t^intercal ight)^-1 G_t Sigma_t

colorWildStrawberryhatx^mathttF_t = hatx_t + Sigma_t G_t^intercal left( G_t Sigma_t G_t^intercal + R_t ight)^-1 (y_t - G_t hatx_t)

Ý nghĩa của đồng bộ thức ma trận Woodbury: Trong những ứng dụng theo thời hạn thực, thường thì chỉ tất cả một vài ít trạng bạn nhận ra trường đoản cú cỗ cảm ứng trên 1 thời điểm, tuyệt có thể nói rằng số chiều của vector ngẫu nhiên y_t cực kỳ nhỏ, từ bây giờ chi phí kiếm tìm ma trận nghịch đảo của left( R_t + G_t Sigma_t G_t^intercal ight)^-1 tương đối nhỏ dại, đồng thời các ma trận khác vẫn có rồi, bài toán tính toán thù còn lại chỉ là nhân ma trận sẽ nkhô nóng rộng không ít so với bài xích toán gốc nhân rồi tính một ma trận nghịch hòn đảo siêu lớn!