Tập xác định của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm đa thức liên tiếp bên trên R.

Ta gồm

và bao gồm . Vì với tất cả m.

Do kia luôn bao gồm ít nhất 1 nghiệm trong tầm

với tất cả m.

kết luận phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với tất cả quý giá m.

b).

(1)

Đặt

. Tập xác định của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm nhiều thức tiếp tục bên trên R.

Ta có

cùng bao gồm . Từ đó suy ra luôn luôn có tối thiểu 1 nghiệm

Xét trường hợp:

kết luận phương thơm trình (1) luôn luôn có nghiệm với đa số quý hiếm m.

c).

(1)

Đặt

. Tập khẳng định của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm nhiều thức liên tiếp bên trên R.

Ta có:

.

Ta có:

Vì

với tất cả m.

luôn có tối thiểu 1 nghiệm

với đa số m.

tóm lại phương trình (1) luôn gồm nghiệm với mọi giá trị m.

d).

(1)

Đặt

. Tập xác minh của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm nhiều thức thường xuyên trên R.

Chọn nghiệm, mang lại

Ta có:

Ta có:

Vì

luôn luôn gồm tối thiểu 1 nghiệm . kết luận pmùi hương trình (1) luôn luôn tất cả nghiệm với đa số quý hiếm m.

Bạn đang xem: Cách chứng minh phương trình có Ít nhất 1 nghiệm cực hay, chi tiết

Chứng minh phương trình sau bao gồm ít nhất một nghiệm:

a).

b).

LỜI GIẢI

a). Đặt

. Tập xác định của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm nhiều thức liên tục bên trên R.

Ta bao gồm

với , nên suy ra với đa số m. Do kia luôn gồm ít nhất 1 nghiệm với mọi m.

b). Đặt

. Tập xác minh của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm đa thức thường xuyên trên R.

Ta tất cả

và gồm , bắt buộc suy ra với đa số m.

Do kia luôn tất cả tối thiểu 1 nghiệm

với mọi m.

Chứng minh những pmùi hương trình sau có ít nhất hai nghiệm:

a).

b).

LỜI GIẢI

a). Đặt

. Tập xác định của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm nhiều thức thường xuyên trên R.

Ta tất cả

,

Vì

phương trình luôn luôn có tối thiểu 1 nghiệm

Vì

pmùi hương trình tất cả tối thiểu 1 nghiệm

Từ

phương thơm trình (1) luôn có tối thiểu 2 nghiệm tách biệt.

Chứng minc phương trình

gồm tối thiểu một nghiệm nằm trong khoảng chừng

LỜI GIẢI

Đặt

Tập xác định của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm nhiều thức liên tục bên trên R.

Ta bao gồm

với .

Vì

pmùi hương trình tất cả tối thiểu 1 nghiệm thuộc khoảng chừng

Chứng minh phương trình

gồm tối thiểu một nghiệm âm to hơn .

LỜI GIẢI

Đặt

. Tập xác minh của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm đa thức liên tiếp bên trên R.

Ta có: , với

. Từ kia suy ra . Vậy phương thơm trình (1) luôn luôn gồm nghiệm ở trong khoảng tầm .

tóm lại phương thơm trình luôn luôn bao gồm tối thiểu 1 nghiệm âm lớn hơn .

Cho hàm số với

. Chứng minh phương trình luôn gồm nghiệm ở trong khoảng .

LỜI GIẢI

Tập xác minh của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm nhiều thức thường xuyên trên R.

Ta bao gồm và

Theo đề bài bao gồm

Ta bao gồm :

Cho hàm số

a). Chứng minch

b). Chứng minh phương thơm trình không tồn tại nghiệm trực thuộc khoảng tầm

LỜI GIẢI

a. Ta gồm với

b. Vì hàm số không tiếp tục trên không có nghiệm

6. Chứng minh rằng phương thơm trình

bao gồm nghiệm.

LỜI GIẢI

Đặt

phương trình đã đến biến

Hàm số

thường xuyên trên R.

Ta bao gồm :

Do

, suy ra pmùi hương trình bao gồm nghiệm trực thuộc

Vậy phương trình đang mang lại bao gồm nghiệm.

7. Chứng minc các pmùi hương trình sau tất cả nghiệm:

a)

b) c) d)

LỜI GIẢI

a). Đặt

thì liên tục trên R với

Hàm số liên tiếp bên trên R, bao gồm suy ra phương trình có nghiệm trực thuộc khoảng chừng . Vậy phương thơm trình vẫn cho gồm nghiệm.

b). Đặt

thì liên tục bên trên R cùng

Hàm số liên tục bên trên R, có suy ra phương thơm trình bao gồm nghiệm ở trong khoảng , suy ra phương trình tất cả nghiệm.

c). Đặt

thì liên tục bên trên R cùng

Hàm số liên tục bên trên R, có suy ra pmùi hương trình bao gồm nghiệm trực thuộc khoảng tầm . Vậy pmùi hương trình đang cho bao gồm nghiệm.

d). Đặt

thì tiếp tục bên trên R cùng

Hàm số liên tiếp trên R, tất cả suy ra phương thơm trình có nghiệm nằm trong khoảng chừng . Vậy phương trình vẫn mang lại bao gồm nghiệm.

10. Chứng minc rằng ví như cùng

thì phương thơm trình bao gồm nghiệm trực thuộc khoảng

LỜI GIẢI

Đặt

thì thường xuyên bên trên R.

Ta tất cả

(vì chưng )

Vì

do đó

-Với

pmùi hương trình đang cho ( kí hiệu là phương thơm trình đổi mới

Suy ra

hoặc

+Nếu thì tự

và điều kiện suy ra . Lúc đó pmùi hương trình bao gồm nghiệm là , suy ra phương trình tất cả nghiệm

+ Nếu

thì (vày nếu thì tự điều kiện suy ra )

suy ra pmùi hương trình bao gồm nghiệm

Khi đó từ điều kiện với suy ra

Do kia phương trình có nghiệm

-Với

là nghiệm trực thuộc .

- Với cùng

gồm tối thiểu một nghiệm thuộc khoảng chừng

Mà

(vì ) cần phương thơm trình gồm nghiệm

Vậy phương thơm trình luôn luôn gồm nghiệm ở trong khoảng chừng .

12. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c pmùi hương trình

có ít nhất một nghiệm.

LỜI GIẢI

Đặt

thì tiếp tục bên trên R.

Không giảm tính tổng quát, trả sử

-Nếu

hoặc thì suy ra pmùi hương trình tất cả nghiệm

-Nếu

thì cùng cho nên mãi mãi nằm trong khoảng để

Vậy pmùi hương trình sẽ cho luôn tất cả tối thiểu một nghiệm.

8. Chứng minc pmùi hương trình

tất cả tía nghiệm trên khoảng

LỜI GIẢI

Đặt

thì thường xuyên trên R.

Do kia

từ bỏ đặc thù của hàm số tiếp tục , suy ra bao gồm nghiệm ở trong khoảng chừng suy ra pmùi hương trình bao gồm tía nghiệm bên trên khoảng tầm

10. Chứng minh rằng với mọi a, b, c pmùi hương trình

luôn luôn có nghiệm.

Xem thêm: " Taser Là Gì ? Nghĩa Của Từ : Taser

LỜI GIẢI

Đặt

thì liên tục bên trên R.

Ta có: nhằm

nhằm

do đó có

nhằm suy ra pmùi hương trình tất cả nghiệm vậy phương trình đã đến luôn luôn có nghiệm.

11. Chứng minh rằng với đa số a, b, c phương trình

bao gồm ít nhất hai nghiệm phân biệt.

LỜI GIẢI

Đặt

thì liên tục bên trên R.

Ta có:

để

để

Do đó

suy ra pmùi hương trình bao gồm nghiệm trong khoảng

suy ra phương thơm trình có nghiệm trong vòng mà lại các khoảng tầm cùng ko giao nhau, vì thế pmùi hương trình gồm tối thiểu hai nghiệm riêng biệt.

12. Chứng minc rằng phương thơm trình

tất cả nghiệm cơ mà

LỜI GIẢI

Cách 1: Đặt

ta tất cả phương trình

Ta chứng tỏ pmùi hương trình bao gồm nghiệm

Đặt

pmùi hương trình trsống thành:

Ta chứng minh tất cả nghiệm trong tầm

Đặt

thì liên tiếp trên R.

Ta có

Nên

Và

Do kia

Suy ra

vậy phương thơm trình có nghiệm từ bỏ đó suy ra điều đề xuất minh chứng.

Cách 2: (áp dụng lượng giác)

Từ công thức

Do kia

hay với

Từ bí quyết này suy ra:

Nghiệm của pmùi hương trình sẽ đến có thể tìm kiếm được bên dưới dạng :

, làm sao cho

Đặt

, phương trình đã mang lại trsinh hoạt thành:

Lấy

ta được với nghiệm thỏa mãn nhu cầu ĐK vẫn nêu.

Chứng minc rằng phương trình

gồm tía nghiệm thực tách biệt. Hãy tìm 3 nghiệm kia.

Đặt

; tập xác định suy ra hàm số liên tiếp trên . Ta bao gồm suy ra . Từ 3 bất đẳng thức này với tính liên tục của hàm số suy ra pt có tía nghiệm rành mạch ở trong . Đặt vậy vào pt ta được:

, kết phù hợp với ta được . Do kia phương thơm trình đang mang lại tất cả 3 nghiệm:

.

Cho phương trình:

( là ẩn, là tham số). Chứng minh rằng với tất cả quý giá thực của phương trình đã mang lại bao gồm tối thiểu bố nghiệm thực minh bạch.

LỜI GIẢI

Đặt

ta được xác minh và thường xuyên bên trên .

Ta gồm

Do đó ta được

phải phương thơm trình bao gồm nghiệm trực thuộc suy ra phương thơm trình có 3 nghiệm tách biệt.

Tìm n số ngulặng dương bé dại độc nhất vô nhị sao cho phương trình tất cả nghiệm.

Ta bao gồm

. Đặt .

Điều kiện nhằm hàm số xác minh

.

Nếu n lẻ: hàm số xác minh

.

Nếu n chẵn: Hàm số xác minh

. Lúc đó là hàm số chẵn trên tạp xác định của nó buộc phải giả dụ phương thơm trình tất cả nghiệm thì cũng có thể có nghiệm . Do đó ta chỉ việc xét trường thích hợp .

Ta tất cả

Ta có

. Dấu xẩy ra khi hệ này vô nghiệm. Do kia

Vì

pmùi hương trình vô nghiệm Lúc .

Với ta tất cả

.

Có ,

.

Vì

. Từ đó gồm (1).

Hàm số khẳng định với tiếp tục trên

cho nên vì vậy hàm số f(x) tiếp tục bên trên đoạn (2). Từ (1) và (2) suy ra pmùi hương trình gồm ít nhất một nghiệm trong tầm .

Tóm lại là số nguyên dương nhỏ dại tốt nhất làm thế nào cho pmùi hương trình bao gồm nghiệm.

Cho hàm số

a). Chứng minc phương trình bao gồm nghiệm .

b). Không tính

với hãy chứng minh .

LỜI GIẢI

Ta gồm

cùng bắt buộc (1). Vì hàm số khẳng định cùng liên tiếp trên R yêu cầu đề xuất hàm số f(x) tiếp tục trên đoạn (2). Từ (1) với (2) suy ra phương trình bao gồm tối thiểu một nghiệm ở trong khoảng chừng .

Ta tất cả

. Vì là nghiệm của phương trình buộc phải .

Đặt

do cùng .

Áp dụng định lý Cauchy đến nhì số ko âm

và 3 ta gồm .

Dấu xẩy ra

.

Chứng minc Lúc

thì phương thơm trình gồm tía nghiệm dương phân biệt.

LỜI GIẢI

Đặt

Vì

.

Ta tất cả

, , , . Từ đó tất cả (1). Vì hàm số liên tục và xác minh trên R buộc phải hàm số thường xuyên trên các đoạn (2). Từ (1) và (2) suy ra phương thơm trình bao gồm tía nghiệm dương phân minh lần lượt ở trong các khoảng .

Cho

cùng thỏa . Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm: .

LỜI GIẢI

Đặt

. Có hàm số f(x) tiếp tục trên đoạn (1).

Ta bao gồm

.

.

(2).

Từ (1) với (2) suy ra phương thơm trình bao gồm nghiệm

.

Chứng minc với mọi tham mê số m phương trình sau luôn luôn tất cả nghiệm thực:

LỜI GIẢI

Đặt

.

Ta tất cả

và buộc phải (1). Vì hàm số f(x) khẳng định với tiếp tục bên trên R buộc phải f(x) tiếp tục bên trên đoạn (1). Từ (1) và (2) suy ra phương thơm trình luôn luôn bao gồm nghiệm nằm trong khoảng tầm .

Chứng minch rằng phương thơm trình

gồm tía nghiệm sáng tỏ với tất cả quý giá của tsay mê số m.

Đặt

. Ta có:

.

.

.

.

Từ đó ta bao gồm

(1). Hàm số f(x) xác định cùng liên tiếp bên trên R vì thế f(x) tiếp tục bên trên những đoạn (2). Từ (1) cùng (2) suy ra phương trình gồm tía nghiệm tách biệt thứu tự trực thuộc những khoảng chừng .

Chứng minh phương trình tất cả tối thiểu 2 nghiệm cùng với

m,n,p .

Xét phương trình: (1)

Xét hàm số:

sao để cho .

thế nào cho

Hàm số f(x) tiếp tục trên những đoạn

cùng

pmùi hương trình tất cả tối thiểu 1 nghiệm cùng ít nhất 1 nghiệm .

Vậy phương trình có tối thiểu 2 nghiệm.

Cho phương thơm trình:

a). Với

chứng minh rằng phương trình bao gồm tối thiểu nhì nghiệm rành mạch.

b). Với

, giả sử pmùi hương trình tất cả nghiệm, minh chứng

LỜI GIẢI

a)

Đặt

liên tiếp bên trên R.

Ta có:

Mặt không giống

, buộc phải lâu dài 2 số với sao để cho . Do đó . Vậy pmùi hương trình gồm ít nhất nhị nghiệm rõ ràng trực thuộc hai khoảng và .

b).

gọi là nghiệm của pmùi hương trình ( )